Атомические разложения функций в пространстве Харди

Введение.................................................................................... 3

Глава I. Основные сведения об интеграле Пуассона и

пространствах , и ................................. 8

§I.1. Интеграл Пуассона..................................................... 8

§I.2. Пространства ....................................................... 12

§I.3. Пространства и ......................................... 17

§I.4. Произведение Бляшке, нетангенциальная

максимальная функция............................................... 22

Глава II. Атомические разложения функции в пространстве

, пространство ВМО........................................ 26

§II.1. Пространство , критерий принадлежности

функции из пространству ....................... 26

§II.2. Линейные ограниченные функционалы на ,

двойственность и ВМО.................................. 32

Литература.................................................................................. 37

Введение.

Целью настоящей работы является изучение основных понятий и результатов, полученных в области пространств Харди, которая не изучалась в рамках университетского курса. В работе прослежена взаимосвязь между следующими понятиями : интеграл Пуассона, пространства , , и , раскрыта суть и структура этих объектов. Описание указанных понятий вводится именно в такой последовательности , так как определение каждого последующего объекта дается на основе понятий, расположенных левее в выше перечисленном ряду объектов.

Работа состоит из двух глав, каждая из которых делится на параграфы. В первой главе изучены свойства пространств , , , а во второй мы доказываем коитерий принадлежности функции из пространству и двойственность пространств и .

В работе мы рассматриваем случай периодических функций. Используемые обозначения имеют следующий смысл:

- пространство периодических, непрерывных на функций;

- пространство периодических, бесконечно дифференцируемых на функций;

- пространство периодических, суммируемых в степени р на функций, т.е.для которых , ;

- пространство периодических ограниченных на функций;

- носитель функции .

В §I.1.вводится понятие интеграла Пуассона: интегралом Пуассона суммируемой на [-p,p] 2p-периодической комплекснозначной функции называется функция

¦r ( x ) = ,

где , t